Algebra 7: Monomial

Aidin Biibosunov

Created: 2024-12-11 Wed 17:19

Тема: Бир мүчө. Стандарттык түрү. Бир мүчөлөрдү көбөйтүү

1. Бир мүчөнүн түшүнүгү Бир мүчө – бул сандарды, айнымалыларды (тамгаларды) жана алардын даражаларын көбөйтүү түрүндө берилген алгебралык туюнтма. Башкача айтканда, бир мүчө – бул бир эле мүчөдөн турган алгебралык туюнтма.

Бир мүчөлөргө мисалдар:

• \(5x\) – бир мүчө (5 деген санды \(x\) айнымалысына көбөйтүүдөн турат).
• \(-3a^2b\) – бир мүчө (\(-3\) саны, \(a^2\) жана \(b\) айнымалыларынын көбөйтүндүсү).
• \(\frac{1}{2}xy^3\) – бир мүчө (\(\frac{1}{2}\) сандык коэффициенти жана \(x\), \(y^3\) айнымалылары).

2. Бир мүчөнүн стандарттык түрү Бир мүчө стандарттык түрдө деп аталат, эгерде:

• Сандык коэффициент биринчи болуп жазылса;
• Айнымалылар алфавиттик тартипте жайгашса;
• Окшош айнымалылардын даражалары кошулуп, бир айнымалылуу даража катары жазылса.

Бир мүчөнү стандарттык түргө келтирүү тартиби:

1. Бардык сандык коэффициенттерди көбөйтүү.
2. Бирдей айнымалыларды топтоого алып, алардын даражаларын кошуу.
3. Айнымалыларды алфавиттик тартипте жайгаштыруу.
4. Жыйынтыкты жөнөкөйлөштүрүп, стандарттык түргө келтирүү.

Мисал: \(-2x \cdot 3x^2y\) туюнтмасын стандарттык түргө келтирели:

• Сандык коэффициент: \(-2 \cdot 3 = -6\).
• Айнымалылар: \(x \cdot x^2 = x^{1+2} = x^3\), \(y\) айнымалысы өзгөрбөйт.

Жыйынтык: \(-6x^3y\).

Дагы бир мисал: \(4a^2b \cdot \left(-\frac{1}{2}ab^3\right)\)

• Сандык коэффициент: \(4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2\).
• Айнымалылар: \(a^2 \cdot a = a^{2+1} = a^3\); \(b \cdot b^3 = b^{1+3} = b^4\).

Жыйынтык: \(-2a^3b^4\).

3. Бир мүчөлөрдү көбөйтүү Бир мүчөлөрдү көбөйтүү үчүн:

1. Сандык коэффициенттерди көбөйтүү.
2. Бирдей айнымалылардын даражаларын кошуу.
3. Натыйжаны стандарттык түргө келтирүү.

Бир мүчөлөрдү көбөйтүүгө мисалдар:

• \((2x^2)(3x) = 6x^{2+1} = 6x^3.\)
• \((-4a^3b)(5a^{-1}b^2) = (-4 \cdot 5)a^{3+(-1)}b^{1+2} = -20a^2b^3.\)

—

Бир мүчө жана анын стандарттык түрү

1. Мисал: \( 2xy^2z \) Бул туюнтма стандарттык түрдө берилген бир мүчө:
   • Сандык коэффициент: \(2\)
   • Айнымалылар: \(x, y^2, z\) алфавиттик тартипте: \(x, y, z\).

2. Мисал: \(-3y^2x\) Стандарттык түргө келтирүү үчүн айнымалыларды алфавиттик тартипке салабыз:

   • Алфавиттик тартип: \(x, y\).

   Жаңыча жазылат: \(-3x y^2\). Демек, бир мүчөнүн стандарттык түрү: \(-3x y^2\).

3. Мисал: \(\frac{1}{2}b^3 a c\) Айнымалыларды алфавиттик тартипте иреттейбиз: \(a, b, c\). Стандарттык түрү: \(\frac{1}{2} a b^3 c\).

4. Мисал: \(-4a^2 a^{-3} b c^0\) Алгач даражаларды жөнөкөйлөштүрөбүз:

   • \(a^2 \cdot a^{-3} = a^{2+(-3)} = a^{-1} = \frac{1}{a}\).
   • \(c^0 = 1\), аны жазбай эле койсо болот.

   Алгачкы туюнтма: \(-4a^2 a^{-3} b c^0 = -4a^{-1}b\). Терс даража бар болсо да, бир мүчө стандарттык түрдө деп эсептелинет. Кааласаңыз, терс даражаны бөлчөк түрүндө жазууга болот: \(-4a^{-1}b = -4 \frac{b}{a}\). Бирок жалпы түрдө \(-4a^{-1}b\) да стандарттык түр деп саналат.

—

Бир мүчөлөрдү көбөйтүү

Бир мүчөлөрдү көбөйтүүдө төмөнкү кадамдарды аткарабыз:

1. Сандык коэффициенттерди көбөйтүү.
2. Окшош айнымалылардын даражаларын кошуу.
3. Жыйынтыкты стандарттык түргө келтирүү.

Төмөндө татаалирээк мисалдар келтирилет:

1. Мисал: \[ (3x^2y) \cdot (-2xy^3) \]

   • Сандык коэффициенттер: \(3 \cdot (-2) = -6.\)
   • Айнымалылар:
     • \(x\) үчүн: \(x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3.\)
     • \(y\) үчүн: \(y \cdot y^3 = y^{1+3} = y^4.\)

   Натыйжа: \(-6x^3y^4.\)

2. Мисал: \[ \left(-\frac{1}{3}a^2b\right) \cdot (6a^{-1}b^3) \]

   • Сандык коэффициенттер: \(-\frac{1}{3} \cdot 6 = -2\) (анткени \(6 \cdot \frac{1}{3} = 2\)).
   • Айнымалылар:
     • \(a\) үчүн: \(a^2 \cdot a^{-1} = a^{2+(-1)} = a^1 = a.\)
     • \(b\) үчүн: \(b \cdot b^3 = b^{1+3} = b^4.\)

   Натыйжа: \(-2a b^4.\)

3. Мисал: \[ (4x^3y^2z) \cdot \left(-\frac{1}{2}x^{-2}y z^3\right) \]

   • Сандык коэффициенттер: \(4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2.\)
   • Айнымалылар:
     • \(x\) үчүн: \(x^3 \cdot x^{-2} = x^{3+(-2)} = x^1 = x.\)
     • \(y\) үчүн: \(y^2 \cdot y = y^{2+1} = y^3.\)
     • \(z\) үчүн: \(z \cdot z^3 = z^{1+3} = z^4.\)

   Натыйжа: \(-2x y^3 z^4.\)

4. Бир нече айнымалылар менен мисал: \[ (2a^2b^3c) \cdot (-3a^{-1}b^4c^2) \]

   • Сандык коэффициенттер: \(2 \cdot (-3) = -6.\)
   • Айнымалылар:
     • \(a\) үчүн: \(a^2 \cdot a^{-1} = a^{2+(-1)} = a^1 = a.\)
     • \(b\) үчүн: \(b^3 \cdot b^4 = b^{3+4} = b^7.\)
     • \(c\) үчүн: \(c \cdot c^2 = c^{1+2} = c^3.\)

   Натыйжа: \(-6 a b^7 c^3.\)

5. Бөлчөк коэффициенттер менен мисал: \[ \left(\frac{3}{4}x^5y\right) \cdot \left(\frac{2}{3}xy^2\right) \]

   • Сандык коэффициенттер: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
   • Айнымалылар:
     • \(x\) үчүн: \(x^5 \cdot x = x^{5+1} = x^6.\)
     • \(y\) үчүн: \(y \cdot y^2 = y^{1+2} = y^3.\)

   Натыйжа: \(\frac{1}{2}x^6y^3.\)

—

Жыйынтык:

• Бир мүчө – бул сандык коэффициенттин жана айнымалылардын даражалуу көбөйтүндүсүнөн турган туюнтма.
• Стандарттык түр бир мүчөнү тартипке салып, сандык коэффициентти алдына, айнымалыларды алфавиттик тартипке жайгаштырат, бирдей айнымалылардын даражаларын бириктирет.
• Бир мүчөлөрдү көбөйтүүдө сандык коэффициенттер көбөйтүлүп, окшош айнымалылардын даражалары кошулат. Андан кийин стандарттык түргө келтирилет.