Algebra 7: Power
Aidin Biibosunov
Created: 2024-12-11 Wed 16:59
Тема: Бүтүн көрсөткүчтүү даражанын аныктамасы жана касиеттери
1. Бүтүн көрсөткүчтүү даражанын аныктамасы
\( a \) – нөлгө тең эмес сан болсун, \( n \) – бүтүн сан (оң, терс же нөл болушу мүмкүн). Анда \( a^n \) даражасы төмөнкүчө аныкталат:
- Эгерде \( n > 0 \) (оң көрсөткүч) болсо:
\[
a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ жолу}}
\]
Мисал: \( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8.\)
- Эгерде \( n = 0 \) жана \( a \neq 0 \) болсо:
\[
a^0 = 1.
\]
Мисал: \( (-5)^0 = 1, \quad 3^0 = 1.\)
- Эгерде \( n < 0 \) (терс көрсөткүч) болсо:
\[
a^{-n} = \frac{1}{a^n}
\]
Башкача айтканда терс көрсөткүчтүү даража – ошол сандын тескери (бөлчөк) түрү.
Мисал: \( 2^{-1} = \frac{1}{2}, \quad 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}.\)
2. Бүтүн көрсөткүчтүү даражанын касиеттери
Бардык \( a, b \) (керектүү учурда \( a \neq 0, b \neq 0 \)) сандары үчүн жана \( m, n \) бүтүн сандары үчүн төмөнкү касиеттер чындык:
- Бирдей негиздүү даражаларды көбөйтүү:
\[
a^m \cdot a^n = a^{m+n}.
\]
Мисал: \( 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128.\)
- Бирдей негиздүү даражаларды бөлүү:
\[
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad a \neq 0.
\]
Мисал: \( \frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27.\)
- Даражаны даражага көтөрүү:
\[
(a^m)^n = a^{mn}.
\]
Мисал: \( (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64.\)
\( (3^{-1})^2 = 3^{-2} = \frac{1}{9}.\)
- Көбөйтүүнүн даражасы:
\[
(ab)^n = a^n \cdot b^n.
\]
Мисал: \( (2 \cdot 3)^2 = 6^2 = 36 \) жана \( 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36.\)
- Бөлчөктүн даражасы:
\[
\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}, \quad b \neq 0.
\]
Мисал: \( \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}.\)
- Нөл көрсөткүчтүү даража (нөлгө тең эмес негиз үчүн):
\[
a^0 = 1.
\]
Мисал: \( 5^0 = 1, \quad (-7)^0 = 1.\)
3. Даражанын терс көрсөткүчү тууралуу мисалдар
- Терс көрсөткүч: \( a^{-1} = \frac{1}{a}, \; a^{-2} = \frac{1}{a^2}, \; \) ж.б.
Мисал: \( 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}.\)
Кошумча мисал: Төмөнкү татаалыраак мисалды жөнөкөйлөтөлү:
\[
\frac{2^3 \cdot 2^{-1}}{2^2}.
\]
Алгач, үстүн жөнөкөйлөйлү:
\(2^3 \cdot 2^{-1} = 2^{3+(-1)} = 2^2 = 4.\)
Эми жалпы туюнтма: \(\frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1.\)