Algebra 8: Quadratic equation

Aidin Biibosunov

Created: 2024-12-03 Tue 17:03

Квадраттык теңдеме – бул төмөнкү түрдөгү теңдеме:

\[ ax^2 + bx + c = 0, \]

мында \(a\), \(b\), \(c\) – коэффициенттер (сандар), \(a \neq 0\), \(x\) – табылышы керек болгон өзгөрмө.

—

### Квадраттык теңдемени дискриминант аркылуу чечүү кадамдары

  1. Коэффициенттерди жазып алуу Теңдемеден \(a\), \(b\), \(c\) коэффициенттерин белгилеп алыңыз.

  2. Дискриминантты табуу Дискриминанттын формуласы:

    \[ D = b^2 - 4ac \]

    Дискриминанттын мааниси тамырлардын (чечимдердин) санын аныктайт:

    • Эгерде \(D > 0\) болсо, эки ар башка тамыр бар.
    • Эгерде \(D = 0\) болсо, бир тамыр бар.
    • Эгерде \(D < 0\) болсо, чыныгы тамырлар жок.

  3. Теңдеменин тамырларын эсептөө (эгерде \(D \geq 0\)) Тамырларды табуу формуласы:

    \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \]

    Эгерде дискриминант нөлгө барабар (\(D = 0\)) болсо, эки тамыр бирдей:

    \[ x = \frac{-b}{2a} \]

—

### Чечимдин мисалы

Теңдемени карап көрөлү: \[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 \]

  1. Коэффициенттерди жазабыз: \(a = 2\), \(b = -4\), \(c = -6\).

  2. Дискриминантты табабыз: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64 \]

    Дискриминант оң сан (\(D = 64 > 0\)), демек, эки тамыр бар.

  3. Тамырларды эсептейбиз: \[ x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{4 + 8}{4} = \frac{12}{4} = 3, \] \[ x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{4 - 8}{4} = \frac{-4}{4} = -1. \]

    Жооп: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -1\).

— ### Мисалы:

Төмөнкү квадраттык теңдемени чечели:

\[ x^2 + 5x + 6 = 0 \]

#### 1. Коэффициенттерди жазып алабыз: Бул жерде: \[ a = 1, \, b = 5, \, c = 6 \]

#### 2. Дискриминантты табабыз: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \] Дискриминант \(D = 1\), бул \(D > 0\), демек, эки тамыр бар.

#### 3. Тамырларды табабыз: Формула: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \]

Эсептейбиз: \[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2, \] \[ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3. \]

#### Жооп: Теңдеменин эки тамыры бар: \[ x_1 = -2, \quad x_2 = -3 \]

Мына бир нече көнүгүү квадраттык теңдемени чечүү боюнча:

—

### 1. Теңдемелерди чечкиле:

  1. \( x^2 - 7x + 10 = 0 \)
  2. \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \)
  3. \( x^2 - 4x + 4 = 0 \)
  4. \( 3x^2 - 5x + 2 = 0 \)
  5. \( 2x^2 - 8x + 8 = 0 \)

—

### 2. Теңдемелерди чечкиле:

  1. \( x^2 + x + 1 = 0 \)
  2. \( 2x^2 + 4x + 5 = 0 \)

—

### 3. Теңдемелерди чечкиле:

  1. \( 5x^2 - 6x + 1 = 0 \)
  2. \( x^2 - 3x + 2 = 0 \)
  3. \( 4x^2 + 12x + 9 = 0 \)

—