Algebra 8
Aidin Biibosunov
Created: 2025-01-28 Tue 15:07
### Дробно-рационалдык теңдемелерди чечүү мисалдары
#### Мисал 1: \( \frac{x+2}{x-3} = 2 \)
- Аныкталуу облусун табабыз (ОДЗ):
Теңдеме, эгер \( x - 3 = 0 \) болсо, аныкталбай калат.
\[ x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3 \]
\( \text{ОДЗ: } x \neq 3 \).
- Теңдемени \( x - 3 \)-ке көбөйтөбүз:
\[ \frac{x+2}{x-3} \cdot (x-3) = 2 \cdot (x-3) \]
Бөлчөктөр кыскарат:
\[ x + 2 = 2(x - 3) \]
- Чечип жатабыз:
\[ x + 2 = 2x - 6 \]
\[ 2 + 6 = 2x - x \]
\[ x = 8 \]
- Текшерүү (ОДЗ боюнча):
\( x = 8 \neq 3 \), демек, бул чечим туура.
Жооп: \( x = 8 \).
—
#### Мисал 2: \( \frac{x^2 - 1}{x+3} = 2 \)
- ОДЗ табабыз:
\( x+3 = 0 \) болсо, бөлчөк аныкталбай калат.
\[ x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3 \]
\( \text{ОДЗ: } x \neq -3 \).
- Теңдемени \( x+3 \)-ке көбөйтөбүз:
\[ \frac{x^2 - 1}{x+3} \cdot (x+3) = 2 \cdot (x+3) \]
Бөлчөктөр кыскарат:
\[ x^2 - 1 = 2(x + 3) \]
- Квадраттык теңдемени чечебиз:
\[ x^2 - 1 = 2x + 6 \]
\[ x^2 - 2x - 7 = 0 \]
- Дискриминант менен чечүү:
\[ D = (-2)^2 - 4(1)(-7) = 4 + 28 = 32 \]
\[ x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{32}}{2(1)} = \frac{2 \pm 4\sqrt{2}}{2} \]
\[ x_1 = 1 + 2\sqrt{2}, \quad x_2 = 1 - 2\sqrt{2} \]
- ОДЗ текшеребиз:
\( x_1 = 1 + 2\sqrt{2} \neq -3 \) жана \( x_2 = 1 - 2\sqrt{2} \neq -3 \).
Жооп: \( x = 1 + 2\sqrt{2} \) жана \( x = 1 - 2\sqrt{2} \).
—
#### Мисал 3: \( \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+2} = \frac{5}{x^2+x-2} \)
- ОДЗ табабыз:
\( x^2 + x - 2 \)-ны факторлорго ажыратсак:
\[ x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2) \]
Бөлчөк аныкталбай калат, эгерде \( x-1 = 0 \) же \( x+2 = 0 \):
\[ x \neq 1, \, x \neq -2 \]
\( \text{ОДЗ: } x \neq 1, \, x \neq -2 \).
- Теңдемени жалпы знаменателге келтиребиз:
Жалпы знаменатель: \( (x-1)(x+2) \).
\[ \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+2} = \frac{5}{(x-1)(x+2)} \]
Жаңы форма:
\[ \frac{2(x+2)}{(x-1)(x+2)} + \frac{3(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{5}{(x-1)(x+2)} \]
- Бөлчөктөрдү кошобуз:
\[ \frac{2(x+2) + 3(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{5}{(x-1)(x+2)} \]
Знаменателдерди алып салабыз:
\[ 2(x+2) + 3(x-1) = 5 \]
- Теңдемени чечебиз:
\[ 2x + 4 + 3x - 3 = 5 \]
\[ 5x + 1 = 5 \]
\[ 5x = 4 \]
\[ x = \frac{4}{5} \]
- ОДЗ текшеребиз:
\( x = \frac{4}{5} \neq 1 \) жана \( x = \frac{4}{5} \neq -2 \).
Жооп: \( x = \frac{4}{5} \).
### Мисал 4: \( \frac{1}{x} - \frac{2}{x+1} = \frac{1}{x(x+1)} \)
- ОДЗ:
\( x \neq 0, \, x \neq -1 \).
- Жалпы знаменателге келтирүү:
\[ \frac{1}{x} \cdot x(x+1) - \frac{2}{x+1} \cdot x(x+1) = \frac{1}{x(x+1)} \cdot x(x+1) \]
Кыскарат:
\[ (x+1) - 2x = 1 \]
- Чечүү:
\[ x + 1 - 2x = 1 \]
\[ -x + 1 = 1 \]
\[ -x = 0 \]
\[ x = 0 \]
- ОДЗ текшерүү:
\( x = 0 \) ОДЗге кирбейт.
Жооп: Чечими жок.