Algebra 8

Aidin Biibosunov

Created: 2024-09-05 Thu 17:36

1. Week 1

1.1. Lesson 1

1.1.1. Линейные уравнения Сызыктуу теңдемелер (20m)

  • Примеры из жизни Турмуштан мисалдар
    Хозяин дома устанавливает забор вокруг квадратного сада. Периметр сада составляет 6480 см.
    Найти сторону сада
    Үйдүн ээси төрт бурчтуу бакчанын айланасына тосмо орнотуп жатат. Бакчанын периметри 6480 см.
    Бактын капталын табыңыз

    Семья потратила 2000 сом на билеты в кино. Стоимость билетов в кино составляла 250 сомов за штуку. Сколько билетов купила семья?
    Үй-бүлө кино билеттерине 2000 сом коротушкан. Киного билеттердин баасы 250 сомду түздү. Үй-бүлө канча билет сатып алды?

    Семья потратила 1500 сом на билеты в кино. Стоимость билетов в кино составляла 250 сомов за штуку. К сожалению один из детей потерял свой билет и пришлось купить новый билет. Сколько билетов купила семья?
    Үй-бүлө кино билетине 1500 сом коротушкан. Киного билеттердин баасы 250 сомду түздү. Тилекке каршы балдардын бири билетин жоготуп, жаңы билет сатып алууга аргасыз болгон. Үй-бүлө канча билет сатып алды?

  • А: Объяснить почему знаки меняются и умножение/деление при переносе

У: Решите линейные уравнения Сызыктуу теңдемелерди чечиңиз:

  1. \( 3x - 7 = 2x + 5 \)
  2. \( 5(2x - 3) = 3(x + 4) - 7 \)

У: Придумать собственной пример где возникает линейное уравнение Сызыктуу теңдеме пайда болгон жерде өзүңүздүн мисал келтириңиз

1.1.2. Функция (25m)

  • А: Объяснить что такое функция. Разные виды. Что ее можно представить графически. Общий вид линейной функции
  • И: https://www.desmos.com/calculator


  • Примеры из жизни Турмуштан мисалдар
    Тарифы на такси часто следуют линейной функции, где общая стоимость проезда рассчитывается как базовый тариф плюс ставка за километр. Это можно выразить как:
    Общая стоимость проезда = Базовый тариф + (Ставка за километр × Пройденные километры)

    Такси тарифтери көбүнчө сызыктуу функцияны аткарат, мында жалпы жол кире негизги тарифке плюс километрге эсептелген тариф катары эсептелет. Бул төмөнкүчө чагылдырууга болот: Жалпы жол кире = Негизги тариф + (Бир километрге тариф × Басылган километр)

    В линейной модели роста население: население увеличивается на фиксированное число особей каждый год. Это означает, что если население начинается с определенного числа, оно будет расти на ту же величину каждый последующий год. Например, если население города увеличивается на 100 человек в год (r=100), линейную функцию можно выразить как:
    Популяциянын өсүшүнүн сызыктуу моделинде: популяция жыл сайын жеке адамдардын белгиленген санына көбөйөт. Бул калктын белгилүү бир сандан башталса, кийинки жыл сайын ошол эле суммага өсөт дегенди билдирет. Мисалы, эгерде шаардын калкы жылына 100 адамга көбөйсө, анда сызыктуу функция төмөнкүчө чагылдырууга болот:

    \[P(t) = P_0 + rt \]

    Предсказание: Поскольку скорость изменения постоянна, это позволяет делать простые прогнозы. Например, если в 2020 году население города составляло 1000 человек и ежегодно увеличивается на 50 человек, то численность населения в 2025 году можно легко рассчитать следующим образом:
    \(P(5)=1000+(50×5)=1,250\)

У: Для функции \( y = 2x - 5 \):

  1. Найдите значения \( y \) при \( x = -1, 0, 3 \).
  2. Найдите значение \( x \), при котором \( y = 1 \).
  3. Постройте график функции.

Функция үчүн \( y = 2x - 5 \):

  1. \( x = -1, 0, 3 \) болгондо, \( y \) маанилерин табыңыз.
  2. \( y = 1 \) болгондо, \( x \) маанисин табыңыз.
  3. Функциянын графигин түзүңүз.

У: Придумать собственной пример где возникает линейная функция
Сызыктуу функция пайда болгон жерде өзүңүздүн мисал келтириңиз

1.1.3. Степень с целым показателем

Упростите выражения:

  1. \( (2a^3b^2)^2 \times (ab^{-1})^3 \)
  2. \( \frac{(x^4y^3)^2}{x^5y^6} \)

1.1.4. Многочлены

  1. Приведите подобные члены в выражении: \( 3x^2 - 5x + 7 + 4x^2 + 2x - 10 \).
  2. Найдите значение многочлена \( 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \) при \( x = 2 \).

### 1. Многочлен и его стандартный вид. Степень многочлена. Сложение, вычитание многочленов

Задача: Приведите к стандартному виду выражение и найдите степень многочлена:

\[ 3x^2 - 5x^3 + 7 + 4x^2 - 2x + 9 - x^3 \]

Вопросы:

  1. Сложите и вычтите подобные члены.
  2. Найдите степень полученного многочлена.

—

### 2. Умножение одночлена на многочлен

Задача: Упростите выражение:

\[ 2x(3x^2 - 5x + 6) \]

Вопросы:

  1. Найдите результат умножения одночлена на многочлен.
  2. Какова степень полученного многочлена?

—

### 3. Умножение многочлена на многочлен

Задача: Найдите произведение многочленов:

\[ (2x - 3)(x^2 + 4x - 1) \]

Вопросы:

  1. Умножьте многочлены.
  2. Приведите подобные члены.

—

### 4. Деление многочлена на одночлен

Задача: Разделите многочлен на одночлен:

\[ \frac{6x^3 - 9x^2 + 12x}{3x} \]

Вопросы:

  1. Выполните деление многочлена на одночлен.
  2. Каков результат?

—

### 5. Вынесение общего множителя за скобку

Задача: Вынесите общий множитель за скобку:

\[ 4x^3 - 8x^2 + 12x \]

Вопросы:

  1. Найдите общий множитель и вынесите его за скобку.
  2. Какой многочлен остается в скобках?

—

### 6. Разложение многочлена на простые множители (способом группировки)

Задача: Разложите многочлен на множители:

\[ x^3 - 3x^2 + 4x - 12 \]

Вопросы:

  1. Разделите многочлен на группы.
  2. Вынесите общий множитель за скобку и выполните разложение.

—

### 7. Доказательство алгебраических тождеств

Задача: Докажите тождество:

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Вопросы:

  1. Используя распределительное свойство, раскройте скобки слева.
  2. Сравните результат с правой частью тождества.

### 5. Формулы сокращенного умножения Разложите на множители:

  1. \( x^2 - 9 \)
  2. \( 4a^2 - 16b^2 \)

### 6. Уравнения с двумя неизвестными. Системы уравнений Решите систему уравнений:

  1. \[ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - 2y = 4 \end{cases} \]
  2. \[ \begin{cases} x - 3y = 5 \\ 4x + y = -3 \end{cases} \]

### 7. Квадратные корни и действия с ними Упростите выражения:

  1. \( \sqrt{50} + 3\sqrt{2} \)
  2. \( \sqrt{45} - \sqrt{20} \)
  3. \( \sqrt{x^2 + 6x + 9} \)

1.2. Важно

  • Проверять ответы на здравый смысл

1.3. Assignment 0

### 1. Сызыктуу теңдемелер Сызыктуу теңдемелерди чечиңиз:

  1. \( 3x - 7 = 2x + 5 \)
  2. \( 5(2x - 3) = 3(x + 4) - 7 \)

### 2. Функция Функция үчүн \( y = 2x - 5 \):

  1. Функциянын графигин түзүңүз.
  2. \( x = -1, 0, 3 \) болгондо, \( y \) маанилерин табыңыз.
  3. \( y = 1 \) болгондо, \( x \) маанисин табыңыз.

### 3. Бүтүн көрсөткүчү бар даража Төмөнкүдөй түргө келтириңиз:

  1. \( (2a^3b^2)^2 \times (ab^{-1})^3 \)
  2. \( \frac{(x^4y^3)^2}{x^5y^6} \)

### 4. Көп мүчөлүү

  1. Төмөнкүдөй чыгарманын окшош мүчөлөрүн бириктириңиз: \( 3x^2 - 5x + 7 + 4x^2 + 2x - 10 \).
  2. \( 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \) көп мүчөлүүсүнүн маанисин табыңыз, \( x = 2 \) болгондо.

### 5. Кыскартылган көбөйтүү формулалары Мүчөлөргө ажыратыңыз:

  1. \( x^2 - 9 \)
  2. \( 4a^2 - 16b^2 \)

### 6. Эки белгисиздиги бар теңдемелер. Теңдемелер системасы Теңдемелер системасын чечиңиз:

  1. \[ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - 2y = 4 \end{cases} \]
  2. \[ \begin{cases} x - 3y = 5 \\ 4x + y = -3 \end{cases} \]

### 7. Квадраттык тамырлар жана алар менен иш-аракеттер Төмөнкүдөй түргө келтириңиз:

  1. \( \sqrt{50} + 3\sqrt{2} \)
  2. \( \sqrt{45} - \sqrt{20} \)
  3. \( \sqrt{x^2 + 6x + 9} \)