1.1. Задачи
Задача 1:
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а апофема равна 5 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Задача 2:
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а сторона основания равна 6 см. Найдите:
- а) апофему пирамиды;
- б) площадь боковой поверхности пирамиды;
- в) площадь полной поверхности пирамиды.
Задача 3:
Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 10 см, а сторона основания равна 6 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Задача 4:
Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна 64 см². Апофема пирамиды образует с высотой угол 30°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Задача 5 (повышенной сложности):
В правильной треугольной пирамиде все ребра равны 8 см. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды.
Задача 1:
\begin{align*}
S_\text{осн} &= \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 \
P &= 3a = 3 \cdot 6 = 18 \text{ см} \
S_\text{бок} &= \frac{1}{2}Pl = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 5 = 45 \text{ см}^2 \
S_\text{полн} &= S_\text{бок} + S_\text{осн} = 45 + 9\sqrt{3} \text{ см}^2
\end{align*}
Задача 2:
а)
\begin{align*}
l^2 &= h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 4^2 + \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 16 + 9 = 25 \
l &= \sqrt{25} = 5 \text{ см}
\end{align*}
б)
\begin{align*}
S_\text{бок} &= \frac{1}{2}Pl = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 6) \cdot 5 = 60 \text{ см}^2
\end{align*}
в)
\begin{align*}
S_\text{осн} &= a^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2 \
S_\text{полн} &= S_\text{бок} + S_\text{осн} = 60 + 36 = 96 \text{ см}^2
\end{align*}
Задача 3:
\begin{align*}
l^2 &= 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \
l &= \sqrt{64} = 8 \text{ см} \
P &= 6a = 6 \cdot 6 = 36 \text{ см} \
S_\text{бок} &= \frac{1}{2}Pl = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 8 = 144 \text{ см}^2
\end{align*}
Задача 4:
\begin{align*}
S_\text{осн} &= a^2 = 64 \Rightarrow a = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \
\tan 30^\circ &= \frac{h}{\frac{a}{2}} = \frac{h}{4} \
h &= 4 \cdot \tan 30^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ см} \
\cos 30^\circ &= \frac{\frac{a}{2}}{l} = \frac{4}{l} \
l &= \frac{4}{\cos 30^\circ} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \text{ см} \
P &= 4a = 4 \cdot 8 = 32 \text{ см} \
S_\text{бок} &= \frac{1}{2}Pl = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{128\sqrt{3}}{3} \text{ см}^2 \
S_\text{полн} &= S_\text{бок} + S_\text{осн} = \frac{128\sqrt{3}}{3} + 64 \text{ см}^2
\end{align*}
Задача 5:
\begin{align*}
S_\text{грани} &= \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2 \
S_\text{полн} &= 4 \cdot S_\text{грани} = 4 \cdot 16\sqrt{3} = 64\sqrt{3} \text{ см}^2
\end{align*}