Үч бурчтуктун аянты жана Герондун формуласы.

1. 1. Үч бурчтуктун аянты: негизги түшүнүктөр

Аныктама: Үч бурчтуктун аянты – негизге чыккан бийиктиктин жарымын эсептеген өлчөм.

Формула: Если \( b \) – негиз, ал эми \( h \) – ошол негизге перпендикуляр түшкөн бийиктик болсо: \[ S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h. \]

Түшүндүрмөлөр:

• Негиз \( b \): Үч бурчтуктун каалаган бир жагы.
• Бийиктик \( h \): Негизге перпендикуляр түшкөн, каршы жагынан чыккан узундук.

Эскертүү: тик эмес Үч бурчтуктарда бийиктикти так аныктоо зарыл.

2. 2. Тик бурчтук үч бурчтуктун аянты

Өзгөчөлүк: Тик бурчтуу үч бурчтуктун эки катети бир-бирине перпендикуляр түзүлөт. Ошондуктан алар негиз жана бийиктик катары кабыл алынат.

Формула: Эгерде \( a \) жана \( b \) – катеттердин узундуктары болсо: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b. \]

Мисал: Катеттеринин узундуктары 3 см жана 4 см болгон тик бурчтуу үч бурчтуктун аянты: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \text{ см}^2. \]

3. 3. Герондун формуласы

Сипаттамасы: Герондун формуласы үч бурчтуктун бардык жактары белгилүү болгондо анын аянтын эсептөөгө мүмкүнчүлүк берет.

Белгилер: Үч бурчтуктун жактары \( a \), \( b \) жана \( c \) деп алсак, алгач ярым периметрди эсептейбиз: \[ p = \frac{a + b + c}{2}. \]

Герондун формуласы: \[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}. \]

Мисал: Үч бурчтуктун жактары \( a = 5 \) см, \( b = 6 \) см, \( c = 7 \) см болгондо:

1. Ярым периметр: \[ p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9 \text{ см}. \]
2. Аянт: \[ S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216}. \]
3. Жыйынтык: \[ \sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6} \text{ см}^2. \]

4. 4. Мисалдар

Мисал 1. Негиз жана бийиктик менен:

• Маселе: Үч бурчтуктун негиз 10 см, бийиктик 7 см. Аянтын табыңыз.
• Чечим: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 7 = 35 \text{ см}^2. \]

Мисал 2. тик бурчтуу үч бурчтук:

• Маселе: Катеттеринин узундуктары 8 см жана 15 см болгон тик бурчтуу үч бурчтуктун аянты.
• Чечим: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60 \text{ см}^2. \]

Мисал 3. Герондун формуласы менен:

• Маселе: үч бурчтуктун жактары 13 см, 14 см жана 15 см.
• Чечим:
  1. Ярым периметр: \[ p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \text{ см}. \]
  2. Аянт: \[ S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}. \]
  3. Жыйынтык: \[ S = \sqrt{7056} = 84 \text{ см}^2. \]

5. 5. Өз алдынча практика үчүн тапшырмалар

Негиз жана бийиктик менен эсептөө:

1. Тапшырма 1: Үч бурчтуктун негиз 12 см, бийиктик 9 см. Аянтын табыңыз.
2. Тапшырма 2: Үч бурчтуктун негиз 16 см, бийиктик 5 см. Аянтын эсептеңиз.
3. Тапшырма 3: Үч бурчтуктун негиз 20 см, бийиктик 8 см. Аянты канча?
4. Тапшырма 4: Катеттеринин узундуктары 9 см жана 12 см болгон тик бурчтуу үч бурчтуктун аянтын табыңыз.
5. Тапшырма 5: Катеттеринин узундуктары 5 см жана 13 см болгон тик бурчтуу үч бурчтуктун аянтын эсептеңиз.

Герондун формуласы колдонулган тапшырмалар:

1. Тапшырма 6: Үч бурчтуктун жактары 7 см, 8 см жана 9 см. Герондун формуласы аркылуу аянтын табыңыз.
2. Тапшырма 7: Үч бурчтуктун жактары 10 см, 14 см жана 16 см болсо, аянтын эсептеңиз.
3. Тапшырма 8: Үч бурчтуктун жактары 6 см, 8 см жана 10 см.
   Үч бурчтук тик бурчтуу экенин текшериңиз (6² + 8² = 10²) жана маселени эки жол менен чечиңиз: Герондун формуласы менен жана тик бурчтуктун аянт формуласы аркылуу.

1. Тапшырма 9: Үч бурчтуктун жактары 11 см, 13 см жана 20 см. Герондун формуласы менен аянтын табыңыз. Андан кийин 20 см негиз катары тандап, ошол негиз боюнча бийиктик эсептенип каралсын.
2. Тапшырма 10: тик бурчтуу уч бурчтук: бир катет 6 см, гипотенуза 10 см. Экинчи катетти Пифагор теоремасы менен табып, аянтын эсептеңиз.